Scattering Matrices and Scattering Geodesics of Locally Symmetric Spaces

Let Γ\X be a Q-rank one locally symmetric space. We describe the frequencies of oscillation of scattering matrices on Γ\X in the energy variable in terms of sojourn times of scattering geodesics. Scattering geodesics are the geodesics which move to infinity in both directions and are distance minimizing near both infinities. The sojourn time of a scattering geodesic is the time it spends in a fixed compact region. The frequencies of oscillation come from the singularities of the Fourier transforms of scattering matrices and we show that these occur at sojourn times of scattering geodesics on the locally symmetric space. This generalizes a result of Guillemin obtained in the case of finite volume non-compact Riemann surfaces. Résumé. Soit Γ\X un espace localement symétrique de rang 1 sur Q. Nous décrivons les fréquences d’oscillations de la matrice de scattering de Γ\X dans les variables d’énergie. Définissons pour cela les géodésiques de scattering de l’espace localement symétrique comme les gódésiques atteignant l’infini à leurs deux extrémités, et qui sont minimisantes au voisinage de l’infini. Appelons temps de séjour d’une telle géodésique le temps qu’elle passe dans un domaine compact fixé. Nous prouvons que les singularités de la tranformée de Fourier (relativement au paramétre d’énergie) de la matrice de scattering sont contenues dans l’ensemble des temps de séjour, et décrivons la nature de ces singularités. Cela généralise un résultat de Guillemin obtenu dans le cas des surfaces de Riemann non compactes de volume fini.